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感想・書評「圏論の技法(アーベル圏と三角圏でのホモロジー代数) 著者: 中岡宏行」ネタバレ注意・位相幾何学、数論、代数幾何学を勉強するときにかなり重要になってきます(レビュー)。 #読書


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圏論の技法(アーベル圏と三角圏でのホモロジー代数) 著者: 中岡宏行, これはいい本だと思います。

 ホモロジー代数を含む圏論は、大学の講義ではなかなか扱ってくれませんが、位相幾何学、数論、代数幾何学を勉強するときにかなり重要になってきます。この本は、学部生や大学院生が圏論を勉強するときの入門書としてふさわしいと思います。

ホモロジー群は位相幾何学において、多様体という図形のより一般的な概念についての性質を調べるのに、位相不変量という特性を持っているから、ホモロジー群が重宝されますし、数論では、Galois cohomologyという加群に群の作用が備わり、その群の作用によって不変になるものを考えた時、加群の短完全系列に群を作用させた時は短完全系列にはなりませんが、Galois cohomologyを導入すると、長い短完全系列が成り立つんです。代数幾何学でも層のコホモロジーを頻繁に扱います。それらのホモロジーやコホモロジーをアーベル群の圏や加群の圏や層の圏などの概念を一般化したのがアーベル圏なんです。そのアーベル圏にまつわるホモロジー代数や圏論を解説してくれているのが、この本です。
 私は、研究論文でsyntomic cohomologyというものを学習していて、2つの複体の直和を用いて定義されているmapping coneの意味がわからなかったのですが、この本を読んで、mapping coneについて詳しく書かれてあったので理解を進めることができました。また、解析学や線形代数や集合論で出てくる単射や全射を習う時、よくわからなくても圏論を勉強してより一般の対象と射、要するに、集合と写像という概念を一般化した圏における単射や全射を学習すると、集合論における集合と写像という概念の元での単射や全射の概念や、加群の圏における対象と射(加群と加群の準同型写像)における単射や全射との概念が一致しているので、物事を一般化していくとさまざまな具体例に応用できるから素晴らしいと同時に整合性がなるように一般化するのが難しいと思いました。

ありがとう寄稿。

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